Mathematik · Klasse 7 · Realschule — 8 Aufgaben zu proportionale und antiproportionale Zuordnungen, Textaufgaben, mit Musterlösungen zu jeder Aufgabe. Zum Ansehen, Drucken oder Anpassen.
Dreisatz – Proportionale und antiproportionale Zuordnungen
Mathematik, Klasse 7 (Realschule) – Dauer: ca. 45 Minuten
Der Dreisatz hilft dir, einen unbekannten Wert zu berechnen, wenn zwei Größen zusammenhängen. Bei einer PROPORTIONALEN Zuordnung gilt: Verdoppelst du die eine Größe, verdoppelt sich auch die andere (Quotientengleichheit: y : x = k = konstant). Der Graph ist eine Ursprungsgerade. Bei einer ANTIPROPORTIONALEN Zuordnung gilt: Verdoppelst du die eine Größe, halbiert sich die andere (Produktgleichheit: x · y = k = konstant). Der Graph ist eine fallende Kurve. Rechenschema: (1) Wert für die Menge 1 bestimmen – bei antiproportional wird dabei MULTIPLIZIERT statt dividiert! (2) Auf die gesuchte Menge umrechnen. Bearbeite alle Aufgaben mit vollständigem Rechenweg.
1
Entscheide, ob die Aussage richtig oder falsch ist.
richtig
falsch
Kauft man mehr Hefte im Laden, steigt der Gesamtpreis im gleichen Verhältnis zur Anzahl der Hefte.
Je mehr Maler gemeinsam an einer Fassade arbeiten, desto weniger Zeit benötigen sie für die Arbeit.
Bei gleicher Streckenlänge gilt: Je höher die Geschwindigkeit, desto kürzer wird die Fahrzeit.
Bei einer proportionalen Zuordnung halbiert sich der eine Wert, wenn man den anderen verdoppelt.
Bei einem Klassenfest ist die benötigte Getränkemenge antiproportional zur Anzahl der Gäste.
2
3 Arbeiter brauchen 6 h für eine Aufgabe. Setzt man den Dreisatz antiproportional an, braucht 1 Arbeiter h und somit 9 Arbeiter h.
3
Für ein Rezept mit 4 Portionen benötigt man 300 g Reis. Wie viel Reis wird für 10 Portionen benötigt? Zeige deinen Rechenweg mit dem Dreisatz und begründe, warum es sich um eine proportionale Zuordnung handelt.
4
4 Bauarbeiter benötigen für eine Mauer 12 Tage (bei gleicher Leistung jedes Arbeiters). Wie viele Tage benötigen 6 Bauarbeiter? Begründe zunächst, ob es sich um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt, und rechne dann mit dem Dreisatz.
5
5 Drucker drucken zusammen 20 Seiten pro Minute (alle Drucker gleich schnell). Wie viele Seiten drucken 8 Drucker in einer Minute?
32 Seiten
12 Seiten
28 Seiten
40 Seiten
Kosten einer Fahrrad-Ausleihe: 3 € pro Stunde (proportionale Zuordnung)
6
Der obige Graph zeigt die Kosten für eine Fahrrad-Ausleihe (3 € pro Stunde). Lies ab, wie viel 6 Stunden Ausleihe kosten, und überprüfe dein Ergebnis rechnerisch mit dem Dreisatz.
24 Bonbons werden gleichmäßig an x Kinder verteilt (antiproportionale Zuordnung)
7
Der obige Graph zeigt, wie viele Bonbons jedes Kind erhält, wenn sich x Kinder 24 Bonbons gleichmäßig teilen. Lies ab, wie viele Bonbons ein Kind bei 6 Kindern erhält, und erkläre, warum der Graph eine fallende Kurve und keine Gerade ist.
8
4 Pumpen füllen ein Schwimmbecken in 6 Stunden (alle Pumpen haben gleiche Leistung). a) Berechne das Produkt aus Pumpenanzahl und Füllzeit. b) Stelle die Zuordnungsvorschrift in Wortform und als Term auf (y = Füllzeit in Stunden, x = Pumpenanzahl). c) Begründe mithilfe des Produkts, ob die Zuordnung Pumpenanzahl–Füllzeit proportional oder antiproportional ist. d) Berechne mit dem Dreisatz, wie lange 3 Pumpen für das Becken brauchen.
Lösungen
Aufgabe 1: Kauft man mehr Hefte im Laden, steigt der Gesamtpreis im gleichen Verhältnis zur Anzahl der Hefte. → richtig Je mehr Maler gemeinsam an einer Fassade arbeiten, desto weniger Zeit benötigen sie für die Arbeit. → richtig Bei gleicher Streckenlänge gilt: Je höher die Geschwindigkeit, desto kürzer wird die Fahrzeit. → richtig Bei einer proportionalen Zuordnung halbiert sich der eine Wert, wenn man den anderen verdoppelt. → falsch Bei einem Klassenfest ist die benötigte Getränkemenge antiproportional zur Anzahl der Gäste. → falsch
Aufgabe 2: 18, 2
Aufgabe 3: Es handelt sich um eine proportionale Zuordnung, da der Quotient Reis : Portionen konstant bleibt (300 g : 4 = 75 g pro Portion). Rechenweg: 4 Portionen → 300 g; 1 Portion → 300 g : 4 = 75 g; 10 Portionen → 75 g · 10 = 750 g. Für 10 Portionen werden 750 g Reis benötigt.
Aufgabe 4: Es handelt sich um eine antiproportionale Zuordnung, denn das Produkt aus Anzahl der Arbeiter und Anzahl der Tage bleibt konstant (Produktgleichheit): Mehr Arbeiter benötigen weniger Zeit. Rechenweg: 4 Arbeiter · 12 Tage = 48 (Gesamtarbeit in Personentagen). 1 Arbeiter → 48 Tage. 6 Arbeiter → 48 Tage : 6 = 8 Tage. 6 Bauarbeiter benötigen 8 Tage.
Aufgabe 5: 32 Seiten
Aufgabe 6: Am Graphen liest man bei x = 6 den Wert y = 18 € ab. Rechnerisch: 1 Stunde → 3 €; 6 Stunden → 3 € · 6 = 18 €. Das Ergebnis stimmt mit dem Graphen überein.
Aufgabe 7: Bei x = 6 zeigt der Graph y = 4 Bonbons pro Kind (24 : 6 = 4). Der Graph ist eine fallende Kurve, weil hier eine antiproportionale Zuordnung vorliegt: Das Produkt x · y = 24 bleibt konstant, statt des Quotienten. Je mehr Kinder sich die Bonbons teilen, desto weniger erhält jedes einzelne Kind – die Werte nähern sich den Achsen an, erreichen sie aber nie, daher entsteht keine Gerade, sondern eine gekrümmte Kurve.
Aufgabe 8: a) Produkt: 4 Pumpen · 6 Stunden = 24 (konstantes Produkt, entspricht der Gesamtleistung in Pumpenstunden). b) In Wortform: Die Füllzeit ergibt sich, indem man 24 durch die Anzahl der Pumpen teilt. Als Term: y = 24 : x bzw. y = 24/x. c) Die Zuordnung ist antiproportional, denn das Produkt x · y bleibt konstant: 4 · 6 = 24. Es gilt Produktgleichheit, keine Quotientengleichheit. Verdoppelt man die Pumpenanzahl, halbiert sich die Füllzeit. d) Dreisatz: 4 Pumpen → 6 Stunden; 1 Pumpe → 4 · 6 = 24 Stunden (bei antiproportional wird im ersten Schritt multipliziert); 3 Pumpen → 24 : 3 = 8 Stunden. 3 Pumpen brauchen 8 Stunden für das Becken.
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