Mathematik · Klasse 7 · Gymnasium — 7 Aufgaben zu Äquivalenzumformungen, Probe, einfache Textaufgaben, mit Musterlösungen zu jeder Aufgabe. Zum Ansehen, Drucken oder Anpassen.
Äquivalenzumformungen, Probe und Textaufgaben – Mathematik, Klasse 7
Auf diesem Arbeitsblatt löst du lineare Gleichungen mit Äquivalenzumformungen, überprüfst Lösungen mit der Probe, findest typische Fehler und übersetzt Sachsituationen in Gleichungen. Arbeite sauber und in Schritten – notiere bei jeder Umformung, was du auf beiden Seiten der Gleichung tust.
1
Stell dir eine Balkenwaage im Gleichgewicht vor, die die Gleichung x + 5 = 12 darstellt. Erkläre in eigenen Worten, warum man auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl subtrahieren muss, um x zu bestimmen, und gib die Lösung an.
2
Um die Gleichung 3x + 7 = 22 nach x aufzulösen, subtrahiert man zunächst auf beiden Seiten und erhält die Gleichung 3x = . Anschließend dividiert man beide Seiten durch und erhält als Lösung x = .
3
Löse die folgenden Gleichungen mit Äquivalenzumformungen. Notiere bei jedem Schritt, welche Umformung du durchführst (z. B. „−5“ oder „:2“).
a) 2x + 5 = 17 =
b) 4x - 3 = 13 =
c) 3(x + 2) = 21 =
d) 5x - 8 = 2x + 10 =
4
Kreuze an, ob die Aussage zu Äquivalenzumformungen wahr oder falsch ist.
richtig
falsch
Bei der Gleichung 2x + 6 = 14 darf man zuerst nur auf der linken Seite 6 subtrahieren, weil x links steht.
Bei 5x = 20 erhält man x, indem man beide Seiten durch 5 teilt.
Bei 2x + 5 = 11 erhält man nach Subtraktion von 5 auf beiden Seiten die Gleichung 2x = 6.
Aus 2x = 6 folgt nach Division durch 2 die Lösung x = 4.
Multipliziert man eine Gleichung auf beiden Seiten mit 0, bleibt die Lösungsmenge unverändert.
Man darf eine Gleichung auf beiden Seiten mit derselben negativen Zahl multiplizieren.
5
Ein Schüler löst die Gleichung 4x − 6 = 2x + 8 wie folgt: 4x − 6 = 2x + 8 | −2x 2x − 6 = 8 | +6 2x = 12 | :2 x = 6 Finde den Fehler in der Rechnung, korrigiere ihn und führe anschließend die Probe mit dem richtigen Ergebnis durch.
6
Ein Fußball kostet 18 Euro mehr als ein Springseil. Zusammen kosten beide Gegenstände 42 Euro. Stelle eine Gleichung mit der Variable x für den Preis des Springseils auf, löse sie und gib die Preise beider Gegenstände an. Führe eine Probe durch.
7
Ein Rechteck hat eine Länge, die um 5 cm größer ist als seine Breite. Der Umfang des Rechtecks beträgt 34 cm (siehe Skizze). Stelle selbst eine Gleichung mit der Variable b für die Breite auf, löse sie und gib Länge und Breite an. Überprüfe dein Ergebnis, indem du den Umfang mit den berechneten Werten nachrechnest.
Lösungen
Aufgabe 1: Eine Gleichung ist wie eine Balkenwaage im Gleichgewicht: Beide Seiten sind gleich groß. Verändert man nur eine Seite (z. B. subtrahiert man nur links 5), ist die Waage nicht mehr im Gleichgewicht, die Gleichheit stimmt also nicht mehr. Deshalb muss dieselbe Operation auf beiden Seiten durchgeführt werden: x + 5 − 5 = 12 − 5, also x = 7. Nur so bleibt die Gleichung äquivalent, das heißt lösungsgleich zur ursprünglichen Gleichung.
Aufgabe 2: 7, 15, 3, 5
Aufgabe 3: a) x = 6, b) x = 4, c) x = 5, d) x = 6
Aufgabe 4: Bei der Gleichung 2x + 6 = 14 darf man zuerst nur auf der linken Seite 6 subtrahieren, weil x links steht. → falsch Bei 5x = 20 erhält man x, indem man beide Seiten durch 5 teilt. → richtig Bei 2x + 5 = 11 erhält man nach Subtraktion von 5 auf beiden Seiten die Gleichung 2x = 6. → richtig Aus 2x = 6 folgt nach Division durch 2 die Lösung x = 4. → falsch Multipliziert man eine Gleichung auf beiden Seiten mit 0, bleibt die Lösungsmenge unverändert. → falsch Man darf eine Gleichung auf beiden Seiten mit derselben negativen Zahl multiplizieren. → richtig
Aufgabe 5: Der Fehler liegt in der dritten Zeile: 8 + 6 ergibt 14, nicht 12. Richtig muss es heißen: 2x − 6 = 8 | +6 → 2x = 14 | :2 → x = 7. Probe: Linke Seite: 4 · 7 − 6 = 28 − 6 = 22. Rechte Seite: 2 · 7 + 8 = 14 + 8 = 22. Beide Seiten sind gleich (22 = 22), also ist x = 7 die richtige Lösung.
Aufgabe 6: Sei x der Preis des Springseils in Euro. Der Fußball kostet dann x + 18 Euro. Gleichung: x + (x + 18) = 42. Umformen: 2x + 18 = 42 | −18 → 2x = 24 | :2 → x = 12. Das Springseil kostet 12 Euro, der Fußball kostet 12 + 18 = 30 Euro. Probe: 12 + 30 = 42 Euro (stimmt), und 30 Euro sind tatsächlich 18 Euro mehr als 12 Euro (stimmt).
Aufgabe 7: Sei b die Breite in cm. Die Länge beträgt dann b + 5 cm. Der Umfang eines Rechtecks ist U = 2 · (Länge + Breite), also: 2 · (b + (b + 5)) = 34. Ausmultiplizieren: 2 · (2b + 5) = 34 → 4b + 10 = 34 | −10 → 4b = 24 | :4 → b = 6. Damit ist die Breite 6 cm und die Länge b + 5 = 11 cm. Probe: Umfang = 2 · (6 + 11) = 2 · 17 = 34 cm. Das stimmt mit der Angabe überein, das Ergebnis ist also richtig: Breite = 6 cm, Länge = 11 cm.
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