Mathematik · Klasse 8 · Gymnasium — 6 Aufgaben zu Steigung und y-Achsenabschnitt, Funktionsgleichung aus dem Graphen ablesen, mit Musterlösungen zu jeder Aufgabe. Zum Ansehen, Drucken oder Anpassen.
Lineare Funktionen – Steigung und y-Achsenabschnitt
Mathematik, Klasse 8 (Gymnasium) – Funktionsgleichung y = m·x + b aus Punkten und Graphen bestimmen
Jede lineare Funktion lässt sich in der Form y = m·x + b darstellen. Dabei ist m die Steigung (sie gibt an, wie steil die Gerade verläuft) und b der y-Achsenabschnitt (der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet). Die Steigung lässt sich mit einem Steigungsdreieck bestimmen: m = Δy/Δx.
1
Nenne die beiden Parameter, aus denen sich jede lineare Funktionsgleichung y = m·x + b zusammensetzt, und erkläre kurz ihre jeweilige Bedeutung für den Graphen. Bestimme anschließend m und b für die Funktion f(x) = 2x + 3.
Graph der Funktion g
2
Lies aus dem Graphen der Funktion g zwei gut ablesbare Punkte ab, bestimme mit einem Steigungsdreieck die Steigung m sowie den y-Achsenabschnitt b und gib die vollständige Funktionsgleichung an.
3
Prüfe die folgenden Aussagen zu linearen Funktionen y = mx + b auf richtig oder falsch.
richtig
falsch
Bei y = mx + b gibt der Parameter b die Steigung der Geraden an.
Der y-Achsenabschnitt b ist der y-Wert des Punktes, an dem der Graph die y-Achse schneidet.
Die Steigung berechnet man aus einem Steigungsdreieck mit m = Δy/Δx.
Je größer der Betrag der Steigung m ist, desto steiler verläuft die Gerade.
Zwei Geraden mit gleichem m, aber unterschiedlichem b, verlaufen parallel zueinander.
4
Die Gerade durch die Punkte A(1; 4) und B(3; 8) beschreibt eine lineare Funktion f(x) = mx + b. Berechne die Steigung m, bestimme anschließend b und gib die vollständige Funktionsgleichung an.
5
Ordne jeder Funktionsgleichung die passende Beschreibung ihres Graphen zu.
1. f1(x) = 3x − 1
____
A) Die Gerade fällt steil und schneidet die y-Achse oberhalb des Ursprungs bei y = 4.
2. f2(x) = −2x + 4
____
B) Die Gerade fällt im 45°-Winkel und schneidet die y-Achse bei y = −2.
3. f3(x) = 0,5x + 3
____
C) Die Gerade steigt flach an und schneidet die y-Achse bei y = 3.
4. f4(x) = −x − 2
____
D) Die Gerade steigt steil an und schneidet die y-Achse unterhalb des Ursprungs bei y = −1.
Koordinatensystem zum Einzeichnen beider Tarife (x-Achse: Anzahl SMS, y-Achse: Kosten in Euro)
6
Ein Handyanbieter bietet zwei Tarife an. Tarif 1 berechnet die monatlichen Kosten nach K1(x) = 0,05x + 10 (in Euro), Tarif 2 nach K2(x) = 0,02x + 16 (in Euro), jeweils in Abhängigkeit von der Anzahl x der versendeten SMS pro Monat. a) Bestimme für beide Tarife die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b und deute beide Werte im Sachzusammenhang. b) Berechne die Kosten für Tarif 1 bei 80 versendeten SMS. c) Berechne rechnerisch, ab welcher Anzahl von SMS Tarif 2 günstiger ist als Tarif 1, und Zeichne zur Kontrolle beide Geraden in ein bereitgestelltes Koordinatensystem ein.
Lösungen
Aufgabe 1: Der Parameter m heißt Steigung und gibt an, um wie viele Einheiten der y-Wert zunimmt (oder abnimmt), wenn der x-Wert um 1 Einheit größer wird (m = Δy/Δx). Der Parameter b heißt y-Achsenabschnitt und gibt den Punkt an, an dem die Gerade die y-Achse schneidet, also den Funktionswert an der Stelle x = 0. Für f(x) = 2x + 3 gilt: m = 2 (die Gerade steigt pro x-Einheit um 2 nach oben) und b = 3 (die Gerade schneidet die y-Achse bei (0; 3)).
Aufgabe 2: Gut ablesbare Punkte: P1(0; 2) und P2(2; 5). Steigungsdreieck: Δx = 2 − 0 = 2, Δy = 5 − 2 = 3. Damit ist m = Δy/Δx = 3/2 = 1,5. Der y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt mit der y-Achse: b = 2 (Punkt (0; 2)). Funktionsgleichung: g(x) = 1,5x + 2.
Aufgabe 3: Bei y = mx + b gibt der Parameter b die Steigung der Geraden an. → falsch Der y-Achsenabschnitt b ist der y-Wert des Punktes, an dem der Graph die y-Achse schneidet. → richtig Die Steigung berechnet man aus einem Steigungsdreieck mit m = Δy/Δx. → richtig Je größer der Betrag der Steigung m ist, desto steiler verläuft die Gerade. → richtig Zwei Geraden mit gleichem m, aber unterschiedlichem b, verlaufen parallel zueinander. → richtig
Aufgabe 4: Steigung: m = (y2 − y1)/(x2 − x1) = (8 − 4)/(3 − 1) = 4/2 = 2. Einsetzen von Punkt A(1; 4) in f(x) = 2x + b: 4 = 2·1 + b, also b = 4 − 2 = 2. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x + 2. Kontrolle mit B: f(3) = 2·3 + 2 = 8 ✓
Aufgabe 5: 1 → D, 2 → A, 3 → C, 4 → B
Aufgabe 6: a) Tarif 1: m1 = 0,05 €/SMS (jede zusätzliche SMS kostet 5 Cent), b1 = 10 € (monatliche Grundgebühr ohne SMS). Tarif 2: m2 = 0,02 €/SMS (jede zusätzliche SMS kostet 2 Cent), b2 = 16 € (monatliche Grundgebühr ohne SMS). b) K1(80) = 0,05 · 80 + 10 = 4 + 10 = 14 €. c) Gleichsetzen: 0,05x + 10 = 0,02x + 16 → 0,03x = 6 → x = 200. Bei 200 SMS kosten beide Tarife gleich viel (K1(200) = K2(200) = 20 €). Für x > 200 SMS ist Tarif 2 günstiger, da seine Steigung kleiner ist und die Kosten langsamer steigen. Für x < 200 SMS ist Tarif 1 günstiger. Im Koordinatensystem schneiden sich beide Geraden im Punkt (200; 20).
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