Integralrechnung: Stammfunktion und bestimmtes Integral
Gymnasium NRW, Jahrgangsstufe 12 | 90 Minuten
Bearbeite die folgenden Aufgaben zur Integralrechnung. Du darfst für Aufgaben 1–3 ohne Hilfsmittel arbeiten. Zeige deine Rechenschritte deutlich. Bei Aufgabe 4 und 5 kannst du ein Computeralgebrasystem nutzen, um deine Ergebnisse zu kontrollieren.
1
Bestimme die Stammfunktion F(x) der folgenden Funktionen. Schreibe deine Antwort in der Form F(x) = ... + C.
a) f(x) = 3x² + 2x − 5
b) g(x) = 4e^x
c) h(x) = 1/x (für x > 0)
2
Bestimme die Stammfunktion F(x) der folgenden Funktionen:
a) f(x) = x⁴ − 3x² + 2
b) g(x) = sin(x) − cos(x)
3
Berechne das bestimmte Integral. Schreibe den Rechenweg auf: Stammfunktion finden → Grenzen einsetzen → Differenz bilden.
∫₁³ (2x + 1) dx
4
Berechne die folgenden bestimmten Integrale. Nutze den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
a) ∫₀² x² dx =
b) ∫₁⁴ (3x² − 2x) dx =
c) ∫₀^(π/2) sin(x) dx =
d) ∫₂⁵ (x³ − 4x) dx =
5
Gegeben ist die Funktion f(x) = x² − 4 im Intervall [−2, 2].
a) Bestimme die Nullstellen von f(x) im Intervall [−2, 2].
b) Berechne das bestimmte Integral ∫₋₂² (x² − 4) dx. Was bedeutet das Ergebnis geometrisch?
c) Berechne den Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse. Hinweis: Nutze Beträge für Flächen unterhalb der x-Achse.
Berechne unter Verwendung der Intervalladditivität und Linearität von Integralen:
a) ∫₀³ f(x) dx
b) ∫₀³ (2f(x) − g(x)) dx
7
Ein Wassertank wird mit einer Zuflussrate von r(t) = 5t Litern pro Minute gefüllt, wobei t die Zeit in Minuten ist.
a) Bestimme die Stammfunktion R(t) der Zuflussrate.
b) Berechne die Gesamtmenge Wasser, die in den ersten 4 Minuten in den Tank fließt.
c) Interpretiere das Ergebnis im Kontext der Aufgabe.
8
Ein Auto fährt mit der Geschwindigkeit v(t) = 20 + 2t m/s, wobei t die Zeit in Sekunden ist.
a) Welche Strecke legt das Auto in den ersten 10 Sekunden zurück?
b) Erkläre, wie der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung hier angewendet wird.
⭐ ⭐ Bonus für Schnelle
9
⭐ Bonus-Aufgabe 1 (Transfer): Gegeben ist die Funktion f(x) = e^x − 2x.
a) Bestimme die Stammfunktion F(x).
b) Berechne ∫₀² (e^x − 2x) dx.
c) Für welche Werte von a ist ∫₀ᵃ (e^x − 2x) dx = 0? (Hinweis: Du kannst ein Computeralgebrasystem nutzen.)
10
⭐ Bonus-Aufgabe 2 (Knobeln): Ein Behälter wird mit Wasser gefüllt. Die Zuflussrate beträgt r(t) = 10 − t Liter pro Minute für 0 ≤ t ≤ 10. Nach t = 10 Minuten stoppt der Zufluss.
a) Berechne die Gesamtmenge Wasser, die in den Behälter fließt.
b) Zu welchem Zeitpunkt t ist die Zuflussrate am größten? Erkläre dein Ergebnis.
c) Wann wäre der Behälter leer, wenn ab t = 10 Minuten Wasser mit einer konstanten Rate von 0,5 Liter pro Minute abfließt? (Hinweis: Berechne zunächst die Wassermenge nach 10 Minuten.)
Lösungen
Aufgabe 1: a) F(x) = x³ + x² − 5x + C Begründung: Wende die Potenzregel ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C an. ∫3x² dx = 3 · x³/3 = x³ ∫2x dx = 2 · x²/2 = x² ∫(−5) dx = −5x Zusammengefasst: F(x) = x³ + x² − 5x + C
b) G(x) = 4e^x + C Begründung: Die Stammfunktion von e^x ist e^x selbst. ∫4e^x dx = 4 · e^x = 4e^x + C
c) H(x) = ln|x| + C (oder ln(x) + C für x > 0) Begründung: Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Stammfunktion von 1/x. ∫(1/x) dx = ln|x| + C
Aufgabe 2: a) F(x) = x⁵/5 − x³ + 2x + C Begründung: Wende die Potenzregel auf jeden Term an. ∫x⁴ dx = x⁵/5 ∫(−3x²) dx = −3 · x³/3 = −x³ ∫2 dx = 2x Zusammengefasst: F(x) = x⁵/5 − x³ + 2x + C
b) G(x) = −cos(x) − sin(x) + C Begründung: Stammfunktion von sin(x) ist −cos(x), Stammfunktion von cos(x) ist sin(x). ∫sin(x) dx = −cos(x) ∫(−cos(x)) dx = −sin(x) Zusammengefasst: G(x) = −cos(x) − sin(x) + C
Aufgabe 3: Schritt 1: Stammfunktion finden F(x) = x² + x (ohne +C bei bestimmtem Integral)
Geometrische Bedeutung: Das Integral ist negativ, weil die Funktion im gesamten Intervall unterhalb der x-Achse liegt (zwischen x = −2 und x = 2 ist f(x) ≤ 0). Das negative Vorzeichen zeigt die orientierte Fläche an.
c) Flächeninhalt: Da die gesamte Fläche unterhalb der x-Achse liegt, ist der Flächeninhalt der Betrag des Integrals: A = |∫₋₂² (x² − 4) dx| = |−32/3| = 32/3 ≈ 10,67 Flächeneinheiten
Aufgabe 7: a) Stammfunktion der Zuflussrate: R(t) = ∫5t dt = 5 · t²/2 = 2,5t² + C (Die Integrationskonstante C entfällt, da wir die Menge ab t = 0 berechnen.)
b) Gesamtmenge Wasser in den ersten 4 Minuten: V = ∫₀⁴ 5t dt = [2,5t²]₀⁴ = 2,5 · 4² − 2,5 · 0² = 2,5 · 16 − 0 = 40 Liter
c) Interpretation: In den ersten 4 Minuten fließen insgesamt 40 Liter Wasser in den Tank. Die Zuflussrate nimmt linear mit der Zeit zu (r(t) = 5t), daher fließt am Anfang weniger Wasser pro Minute, am Ende mehr. Das bestimmte Integral summiert alle diese Raten über die Zeit auf und ergibt die Gesamtmenge.
Aufgabe 8: a) Die Strecke ist das Integral der Geschwindigkeit: s = ∫₀¹⁰ (20 + 2t) dt
Das Auto legt in den ersten 10 Sekunden 300 Meter zurück.
b) Anwendung des Hauptsatzes: Der Hauptsatz verbindet Ableitung und Integration: Wenn s(t) die Strecke ist, dann ist v(t) = s'(t) die Geschwindigkeit (Ableitung). Umgekehrt ist die Strecke das Integral der Geschwindigkeit: s = ∫v(t) dt. Der Hauptsatz besagt, dass ∫ₐᵇ v(t) dt = s(b) − s(a), also die Differenz der Strecke am Anfang und Ende des Zeitintervalls. Dies ermöglicht es uns, aus der bekannten Geschwindigkeitsfunktion die zurückgelegte Strecke zu berechnen.
Aufgabe 9: a) Stammfunktion: F(x) = e^x − x² + C Begründung: ∫e^x dx = e^x und ∫(−2x) dx = −x²
Für k(a) = e^a − a² − 1 gilt k(0) = 0 und k'(a) = e^a − 2a > 0 für alle a (der Integrand e^x − 2x ist überall positiv). k ist also streng monoton steigend und hat nur die Nullstelle a = 0. Für a > 0 ist das Integral immer positiv.
Aufgabe 10: a) Gesamtmenge Wasser in 10 Minuten: V = ∫₀¹⁰ (10 − t) dt = [10t − t²/2]₀¹⁰ = (10 · 10 − 10²/2) − 0 = (100 − 50) = 50 Liter
b) Die Zuflussrate r(t) = 10 − t ist eine lineare Funktion mit negativer Steigung. Sie ist am größten bei t = 0: r(0) = 10 Liter/Minute Sie nimmt kontinuierlich ab und erreicht r(10) = 0 Liter/Minute. Erklärung: Die Zuflussrate ist eine fallende Funktion, daher ist sie am Anfang (t = 0) maximal.
c) Nach 10 Minuten sind 50 Liter im Behälter. Abflussrate: 0,5 Liter/Minute Zeit bis Behälter leer: t = 50 / 0,5 = 100 Minuten Der Behälter ist 100 Minuten nach Beginn des Abflusses leer, also insgesamt 110 Minuten nach Beginn des Zuflusses.
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