9 Aufgaben zu Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte ganzrationaler Funktionen, mit Musterlösungen zu jeder Aufgabe. Kostenlos zum Ausdrucken, ohne Anmeldung.
Systematische Analyse von Extremstellen, Wendepunkten und Krümmungsverhalten
Bearbeite alle Aufgaben vollständig und dokumentiere deine Rechenschritte nachvollziehbar. Verwende die Fachbegriffe: Extremstelle, Wendestelle, linksgekrümmt, rechtsgekrümmt, Monotonie, Vielfachheit. Bearbeitungszeit: ca. 45 Minuten.
1
Gegeben ist die Funktion f(x) = x³ – 6x² + 9x.
a) Berechne die ersten beiden Ableitungen f'(x) und f''(x).
b) Bestimme alle Nullstellen von f und gib ihre Vielfachheiten an.
2
Bestimme alle Extremstellen der Funktion f(x) = x³ – 6x² + 9x. Klassifiziere sie als lokale Maxima oder Minima und berechne die zugehörigen Funktionswerte.
3
Bestimme die Wendestelle(n) von f(x) = x³ – 6x² + 9x und beschreibe das Krümmungsverhalten in den entstehenden Intervallen. Verwende die Begriffe „linksgekrümmt" und „rechtsgekrümmt".
4
Bestimme die Intervalle, in denen f(x) = x³ – 6x² + 9x monoton wachsend bzw. monoton fallend ist. Nutze dafür die Extremstellen.
Koordinatensystem zur Skizze des Graphen von f(x) = x³ – 6x² + 9x
5
Skizziere den Graphen von f(x) = x³ – 6x² + 9x in das Koordinatensystem. Markiere und beschrifte alle charakteristischen Punkte (Nullstellen, Extrema, Wendepunkt). Zeichne den Graphen unter Berücksichtigung des Monotonie- und Krümmungsverhaltens.
6
Gegeben ist die Funktion g(x) = –¼x⁴ + 2x². Führe eine vollständige Kurvendiskussion durch: Bestimme Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Extremstellen mit Funktionswerten, Wendestellen und Krümmungsverhalten.
7
Gegeben sind die Ableitungen einer ganzrationalen Funktion h: • h'(x) = 3(x – 1)(x – 3) • h''(x) = 6(x – 2)
Bestimme die Extremstellen von h und klassifiziere sie. Gib die Wendestelle an. Erkläre, wie man aus dem Vorzeichenwechsel von h' die Art der Extrema bestimmt.
8
Gegeben ist die Funktion f(x) = x³ + bx² + cx. Die Funktion hat an x = 1 einen Wendepunkt. Der Graph verläuft durch den Punkt P(2 | 0). Bestimme die Parameter b und c.
9
Erkläre den Unterschied zwischen einer einfachen und einer doppelten Nullstelle einer ganzrationalen Funktion. Welche geometrische Bedeutung hat dieser Unterschied für den Graphen? Wie erkennst du die Vielfachheit einer Nullstelle mithilfe der Ableitungen?
Monotonieverhalten: - Für x < 1: f'(x) > 0 → f ist streng monoton wachsend auf (–∞; 1) - Für 1 < x < 3: f'(x) < 0 → f ist streng monoton fallend auf (1; 3) - Für x > 3: f'(x) > 0 → f ist streng monoton wachsend auf (3; +∞)
4. Kurvenverlauf zeichnen: - Von links (–∞) steigt die Kurve (monoton wachsend) bis zum Maximum H(1 | 4) - Von H fällt die Kurve (monoton fallend) bis zum Minimum T(3 | 0) - Von T steigt die Kurve wieder (monoton wachsend) nach rechts (+∞) - Bis x = 2 ist die Kurve rechtsgekrümmt (konkav) - Ab x = 2 ist die Kurve linksgekrümmt (konvex) - Der Wendepunkt W(2 | 2) liegt auf der fallenden Strecke zwischen H und T
5. Verhalten im Unendlichen: - Für x → –∞: f(x) → –∞ - Für x → +∞: f(x) → +∞ (Leitkoeffizient 1 > 0, Grad 3 ungerade)
Aufgabe 6: Kurvendiskussion von g(x) = –¼x⁴ + 2x²:
Für x₁ = 1: - h'(0) = 3(0 – 1)(0 – 3) = 3 · (–1) · (–3) = 9 > 0 - h'(2) = 3(2 – 1)(2 – 3) = 3 · 1 · (–1) = –3 < 0 Vorzeichenwechsel von + zu –: lokales Maximum bei x = 1
Für x₂ = 3: - h'(2) = –3 < 0 - h'(4) = 3(4 – 1)(4 – 3) = 3 · 3 · 1 = 9 > 0 Vorzeichenwechsel von – zu +: lokales Minimum bei x = 3
3. Wendestelle (h''(x) = 0): 6(x – 2) = 0 x = 2
Vorzeichenwechsel von h'': - h''(1) = 6(1 – 2) = –6 < 0 - h''(3) = 6(3 – 2) = 6 > 0 Wendestelle liegt bei x = 2
4. Erklärung des Vorzeichenwechselkriteriums: Das Vorzeichen von h' beschreibt die Steigung von h: - h'(x) > 0: h steigt (Graph geht nach oben) - h'(x) < 0: h fällt (Graph geht nach unten)
An einer Extremstelle wechselt h' das Vorzeichen: - Von + zu –: h steigt, dann fällt → Gipfel → lokales Maximum - Von – zu +: h fällt, dann steigt → Tal → lokales Minimum
Dies ist eine hinreichende Bedingung für Extrema und unterscheidet sie von Sattelpunkten (kein Vorzeichenwechsel von h').
Aufgabe 8: Gegeben: - Wendepunkt bei x = 1 - Graph verläuft durch P(2 | 0)
Vorzeichenwechsel von f'': f''(0) = –6 < 0, f''(2) = 6 > 0 → Wendestelle bei x = 1 ✓
Ergebnis: b = –3, c = 2
Aufgabe 9: Unterschied zwischen einfacher und doppelter Nullstelle:
1. Geometrische Bedeutung:
Einfache Nullstelle: - Der Graph kreuzt die x-Achse - Die Funktion wechselt das Vorzeichen (von + zu – oder von – zu +) - Beispiel: f(x) = x(x – 3) hat einfache Nullstellen bei x = 0 und x = 3
Doppelte Nullstelle: - Der Graph berührt die x-Achse, kreuzt sie aber nicht - Die Funktion behält das Vorzeichen bei (bleibt auf einer Seite der x-Achse) - An der doppelten Nullstelle liegt ein lokales Extremum (Maximum oder Minimum) - Beispiel: f(x) = (x – 3)² hat eine doppelte Nullstelle bei x = 3
2. Erkennung mithilfe der Ableitungen:
Bei einer einfachen Nullstelle x₀: - f(x₀) = 0 - f'(x₀) ≠ 0 (die Ableitung ist nicht null) - Der Graph schneidet die x-Achse mit einer Steigung ungleich null
Bei einer doppelten Nullstelle x₀: - f(x₀) = 0 - f'(x₀) = 0 (die Ableitung ist null) - f''(x₀) ≠ 0 (die zweite Ableitung ist nicht null) - Der Graph berührt die x-Achse mit horizontaler Tangente (Steigung = 0) - Es liegt ein lokales Extremum vor
Bei x = 0 (einfache Nullstelle): f'(0) = 9 ≠ 0 ✓ Bei x = 3 (doppelte Nullstelle): f'(3) = 0 und f''(3) = 6 ≠ 0 ✓
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